Uniform Derivability Conditionsについて

メモ

G. Boolos; "The Logic of Provability"では$ \bf D1,D2,D3を示すためにより強い条件である$ \mathbf{D1^U}, \mathbf{D2^U}, \mathbf{\Sigma_1C^U}を示しているらしい．

ここで$ \bf \Sigma_1C^Uは任意の$ \Sigma_1論理式$ \varphi(\vec{x})に対し$ T \vdash \forall_{\vec{x}}.(\varphi(\vec{x}) \to \mathrm{Pr}_T(\ulcorner \varphi(\dot{\vec{x}}) \urcorner))

$ \varphi(\dot{\vec{x}}) \colon n \mapsto \mathrm{gn}(\varphi(\vec{x}))

Uniformな形式化されたΣ₁完全性定理

W. Buchholz; "Mathematische Logik II"では実は$ \bf \Sigma_1C^Uは$ \bf D1^U,D2^Uを満たせば不要であることが示されている．

以下によって次の系が得られる．

$ \mathrm{Pr}_T(x)は$ \bf D1^U,D2^Uを満たすとき，$ Tが無矛盾なら$ T \nvdash \mathrm{Con}^\mathrm{L}_{\mathrm{Pr}_T}．$ \mathrm{Con}^\mathrm{L}_{\mathrm{Pr}_T} \equiv \mathrm{Con}_T(\ulcorner \bot \urcorner)